Euklidischer Raum

In der Mathematik ist der euklidische Raum zunächst der „Raum unserer Anschauung“ („Anschauungsraum“), wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird (vgl. euklidische Geometrie). Bis ins 19. Jahrhundert wurde davon ausgegangen, dass dadurch der uns umgebende physikalische Raum beschrieben wird. Der Zusatz „euklidisch“ wurde nötig, nachdem in der Mathematik allgemeinere Raumkonzepte (z. B. hyperbolischer Raum, riemannsche Mannigfaltigkeiten) entwickelt wurden und es sich im Rahmen der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie zeigte, dass zur Beschreibung des Raums in der Physik andere Raumbegriffe benötigt werden (Minkowski-Raum, Lorentz-Mannigfaltigkeit).

Im Laufe der Zeit wurde Euklids Geometrie auf verschiedene Arten präzisiert und verallgemeinert:

• axiomatisch durch Hilbert,
• als euklidischer Vektorraum (ein über R definierter Vektorraum mit Skalarprodukt),
• als euklidischer Punktraum (ein affiner Raum, der über einem euklidischen Vektorraum modelliert ist),
• als Koordinatenraum R^3 mit dem Standardskalarprodukt.

Wenn vom euklidischen Raum die Rede ist, dann kann jede dieser Definitionen gemeint sein oder auch eine höherdimensionale Verallgemeinerung. Den zweidimensionalen euklidischen Raum nennt man auch euklidische Ebene. In diesem zweidimensionalen Fall wird der Begriff in der synthetischen Geometrie etwas allgemeiner gefasst: Euklidische Ebenen können dort als affine Ebenen über einer allgemeineren Klasse von Körpern, den euklidischen Körpern, definiert werden. Diese Körper sind (je nach Auffassung) Teilkörper oder isomorph zu Teilkörpern von R.

Vom affinen Raum unterscheidet sich der euklidische dadurch, dass man Längen und Winkel messen kann. Man zeichnet deshalb die Abbildungen aus, die Längen und Winkel erhalten. Diese nennt man traditionell Kongruenzabbildungen, andere Bezeichnungen sind Bewegung und Isometrie.

Der einem pseudoeuklidischen Raum (en. Pseudo-Euclidean space) zugrunde liegende Vektorraum besitzt ein Pseudoskalarprodukt, d. h. eine im Allgemeinen nicht positiv definite symmetrische Bilinearform.

In den nichteuklidischen Räumen, so dem hyperbolischen und dem elliptischen Raum, gilt das Parallelenaxiom nicht.