Menge (Mathematik)
Als Menge wird in der Mathematik ein abstraktes Objekt bezeichnet, das aus der Zusammenfassung einer Anzahl einzelner Objekte hervorgeht. Diese werden dann als die Elemente der Menge bezeichnet. Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegendsten Konzepte der Mathematik; mit ihrer Betrachtung beschäftigt sich die Mengenlehre.
Die Anzahl der Elemente kann von Null über ein oder mehrere Elemente bis hin zu unendlich vielen reichen. Die erste Abbildung symbolisiert eine Menge mit neun Elementen. Die vorhandenen Elemente bestimmen vollständig, um was für eine Menge es sich handelt; hierbei ist jedoch die Menge selbst ein eigener Gegenstand und nicht dasselbe wie ihre Elemente. Dies sieht man deutlich an einigen besonderen Grenzfällen: Eine Menge kann null Elemente enthalten, dies heißt „leere Menge“. Im Gegensatz zu der Vielzahl sonstiger Mengen, gibt es nur genau eine leere Menge. Es ist auch möglich, dass eine Menge genau ein einziges Element enthält; wenn z.B. ein Apfel auf dem Tisch liegt, kann man die Menge bilden, die nur diesen Apfel als Element hat. Der Apfel und die Menge, die nur diesen Apfel enthält, sind aber zwei verschiedene Gegenstände – zum Beispiel: einen Apfel kann man essen, eine Menge nicht.
Bei der Bildung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten sind. Es muss für jedes Objekt zweifelsfrei feststehen, ob es zur Menge gehört oder nicht (wird diese Bedingung aufgeweicht, gelangt man auf den nichtklassischen Begriff einer Fuzzy-Menge).
Beim Begriff der Menge bleibt außer Betracht, ob es unter den Elementen zusätzlich irgendeine Ordnung geben könnte, Mengen sind zunächst ungeordnete Gebilde. Ist eine Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, dann spricht man stattdessen von einer endlichen oder unendlichen Folge, wenn sich die Folgenglieder mit den natürlichen Zahlen aufzählen lassen (das erste, das zweite usw.). Endliche Folgen heißen auch Tupel. In einem Tupel oder einer Folge können Elemente auch mehrfach vorkommen, da in der Hauptsache eine Anzahl von Plätzen vergeben wird, die zu besetzen sind. In einer Menge ist dies nicht der Fall, hier geht es nur darum, ob ein bestimmter Gegenstand enthalten oder nicht enthalten ist. Daher gibt es keine Möglichkeit, dass eine Menge ein Element „mehrmals enthalten“ könnte. (Wenn ein Konstrukt gewünscht ist, das wie eine Menge Elemente enthält und zusätzlich eine bestimmte Anzahl von Exemplaren jedes Elements vorsieht, so heißt dies eine Multimenge).
In der Mathematik werden häufig Mengen betrachtet, die als ihre Elemente Zahlen oder Punkte eines Raumes enthalten. Das Konzept ist aber auf beliebige Objekte anwendbar: z. B. in der Statistik auf Stichproben, in der Medizin auf Patientenakten, am Marktstand auf eine Tüte mit Früchten. Sogar Mengen können als Elemente einer anderen Menge dienen. Die Elemente einer Menge müssen auch nicht von gleichartiger Sorte sein: Möglich ist z.B. auch die Menge, die aus einem Apfel, der Zahl Fünf, dem Patienten Maier und der leeren Menge besteht. Diese Menge enthält 4 Elemente. Wie in diesem Beispiel kann eine Menge durch reine Aufzählung ihrer Elemente definiert sein; sie kann aber auch durch eine Beschreibung definiert sein, die die Bedingungen nennt, die von Objekten erfüllt werden müssen, um Element der Menge zu sein. In einem solchen Fall können die Elemente mehr oder weniger ähnlich erscheinen, z.B. die Menge der natürlichen Zahlen (aber wie „ähnlich“ 0, 11 und 256 sind ist subjektiv).
Begriff und Notation von Mengen[Bearbeiten]
Der Begriff Menge geht auf Bernard Bolzano und Georg Cantor zurück. In Bolzanos Manuskripten aus den Jahren zwischen 1830 und 1848 heißt es: "|Inbegriffe nun, bey welchen auf die Art, wie ihre Theile mit einander verbunden sind, gar nicht geachtet werden soll, an denen somit Alles, was wir an ihnen unterscheiden, bestimmt ist, sobald nur ihre Theile [selbst] bestimmt sind, verdienen es eben um dieser Beschaffenheit willen, mit einem eigenen Nahmen bezeichnet zu werden. In Ermangelung eines andern tauglichen Wortes erlaube ich mir das Wort Menge zu diesem Zwecke zu brauchen. Cantor beschrieb eine Menge „naiv“ (siehe aber auch Cantors Mengenaxiome) als eine „Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“. Die Objekte der Menge heißen Elemente der Menge. Weder der Begriff „Menge“ noch der Begriff „Element“ werden im mathematischen Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert. Die moderne Mengenlehre und damit ein Großteil der Mathematik basiert auf den Zermelo-Fraenkel-Axiomen (oder: ZFA), Neumann-Bernays-Gödel-Axiomen oder anderen Axiomensystemen. Wir haben ein natürliches, intuitiv richtiges Verständnis für Mengen; allerdings führt der Begriff „die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ zu einem Widerspruch, der Russell’schen Antinomie; ebenso wie „die Menge aller Mengen“.
Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse (als Einzelne abgrenzbare) Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern der Inhalt eines Behältnisses, das keine der für es als Inhalt vorgesehenen Dinge enthält. Das „Behältnis“ selbst verweist nur auf die bestimmte zusammenzufassende Sorte und Art von Elementen. Diese Vorstellung hat aber ihre Grenzen. Ein Behältnis bleibt nämlich dasselbe, auch wenn man seinen Inhalt ändert. Dies ist bei Mengen anders: Diese ändern ihre Identität, wenn man neue Elemente hinzufügt oder bestehende entfernt. Insofern ist es besser, wenn man sich die Menge als „Inhalt eines Behältnisses“ vorstellt.
