Ebene (Mathematik)
Die Ebene ist ein Grundbegriff der Geometrie. Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt.
- Hierbei bedeutet unbegrenzt ausgedehnt und flach, dass zu je zwei Punkten auch eine durch diese verlaufende Gerade vollständig in der Ebene liegt.
- Zweidimensional bedeutet, dass – abgesehen von enthaltenen Geraden – kein echter Teilraum ebenfalls diese Eigenschaft hat.
Konkreter bezeichnet man mit Ebene, je nach Teilgebiet der Mathematik, allerdings durchaus verschiedene Objekte.
Ebene als eigenständiges Objekt[Bearbeiten]
Der klassische Ebenenbegriff nach Euklid[Bearbeiten]
In der klassischen Geometrie etwa im Sinne von Euklids Elementen bildet die (euklidische) Ebene – in diesem Zusammenhang üblicherweise mit dem bestimmten Artikel bezeichnet – den Rahmen geometrischer Untersuchungen, etwa für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Man kann sie sich vorstellen als Abstraktion der Zeichenebene (Papier) als unendlich ausgedehnt und unendlich flach, so wie die Gerade eine als unendlich dünn und unendlich lang vorgestellte Abstraktion des gezeichneten Strichs (Bleistiftlinie) ist. Die euklidische Geometrie wird heutzutage durch Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie beschrieben.
Seit Descartes die euklidische Ebene mit Koordinaten versehen hat, kann man die euklidische Ebene mit der Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen identifizieren. Oder andersherum: bildet ein Modell für die Hilbertschen Axiome der Ebene. Dieser reelle Vektorraum wird daher ebenfalls als Ebene bezeichnet.
