Gradient (Mathematik)
Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die bekannten Gradienten (meist aus der Physik), die den Verlauf von physikalischen Größen beschreiben. Als Differentialoperator kann er beispielsweise auf ein Skalarfeld angewandt werden und wird in diesem Fall ein Vektorfeld liefern, das Gradientenfeld genannt wird. Der Gradient ist eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.
In kartesischen Koordinaten sind die Komponenten des Gradientvektors die partiellen Ableitungen im Punkt P, der Gradient zeigt deshalb in die Richtung des größten Wertanstiegs. Der Betrag des Gradienten gibt den Wert der größten Änderungsrate an diesem Punkt an.
Beispielsweise kann man die Reliefkarte einer Landschaft so auffassen, dass sie jedem Ort (x,y) die Höhe h an dieser Stelle zuordnet. Dann ist der Gradient an der Stelle (x,y) genau der Vektor („Pfeil“), der in die Richtung des größten Höhenanstiegs bei (x,y) zeigt. Der Betrag („Länge“) dieses Vektors gibt an, wie stark die (größte) Steigung an diesem Punkt ist.
Zu jeder Stelle (x,y) gibt es genau einen Gradienten. Zeichnet man zu allen Stellen (x,y) der Reliefkarte den jeweils zugehörigen Gradientenvektor ein, dann erhält man das gesamte Vektorfeld.
Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Vektor- und Tensoranalysis, Teilgebieten der mehrdimensionalen Analysis, untersucht. Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet-
Quellen[Bearbeiten]
- Konrad Königsberger: Analysis. 4. überarbeitete Auflage. Band 2. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2000, ISBN 3-540-43580-8, doi:10.1007/978-3-662-05699-8.
