Parallelität (Geometrie)

In der euklidischen Geometrie definiert man: Zwei Geraden sind parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und einander nicht schneiden. Außerdem setzt man fest, dass jede Gerade zu sich selbst parallel sein soll. Zwei Geraden werden als echt parallel bezeichnet, wenn sie parallel, aber nicht identisch sind.

Häufig wird von echt parallelen Geraden gesagt, dass sie einander „im Unendlichen“ schneiden. Diese Aussage bekommt einen präzisen Sinn, wenn der euklidische Raum zu einem projektiven Raum erweitert wird.

Im dreidimensionalen euklidischen Raum gilt ferner:

• Zwei Geraden, die nicht in einer Ebene liegen, werden windschief genannt. (Auch sie haben keinen Schnittpunkt, sind aber nicht parallel.)
• Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn sie ganz in dieser Ebene liegt oder diese nicht schneidet.
• Zwei Ebenen sind parallel, wenn sie zusammenfallen oder einander nicht schneiden. Man spricht von Parallelebenen.

Analoge Sprechweisen gelten für euklidische und affine Geometrien in beliebiger Dimension und für die analytische Geometrie (die Geometrie in euklidischen Vektorräumen). Insbesondere sind zwei Geraden in einem Vektorraum parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig (oder proportional) sind.

Eigenschaften

In der ebenen euklidischen und affinen Geometrie gilt:

• Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, gibt es genau eine Gerade, die zur gegebenen Geraden parallel ist und durch den gegebenen Punkt geht (die Parallele durch diesen Punkt).

Diese Aussage wird das Parallelenaxiom genannt, da sie bei einem axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie als Axiom benötigt wird. In der analytischen Geometrie (Geometrie in euklidischen Vektorräumen) ist sie hingegen beweisbar (also ein Satz). In affinen Räumen beliebiger Dimension gilt:

• Die Beziehung „parallel“ zwischen Geraden bildet eine Äquivalenzrelation, die Geraden lassen sich also aufteilen in Äquivalenzklassen zueinander paralleler Geraden. Eine solche Äquivalenzklasse wird als Parallelenschar bezeichnet und bildet ein spezielles Büschel.
• Fügt man einem affinen Raum für jede Parallelenschar einen "unendlich fernen" (auch "uneigentlichen") Punkt (Fernpunkt) hinzu, in dem sich dann je zwei Geraden der Schar schneiden, erhält man einen projektiven Raum als projektiven Abschluss des affinen Raumes.

In der euklidischen Geometrie gilt ferner bei beliebiger Dimension des Raumes:

• Bei parallelen Geraden g und h ist der Abstand aller Punkte von g zur Geraden h konstant (und umgekehrt), die Geraden sind also immer gleich weit voneinander entfernt. Entsprechendes gilt für parallele Ebenen.

Außerhalb der euklidischen Geometrie gilt: Ersetzt man das Parallelenaxiom durch die Forderung Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, gibt es mindestens zwei Geraden durch den Punkt, welche die gegebene Gerade nicht schneiden, so erhält man eine nichteuklidische Geometrie, nämlich die hyperbolische.